최은진의 노베부터 시작하는 확통 20 – 15강 이산확률분포

1. 확률변수

동전 1개 {앞, 뒤}
표본공간: 앞/뒤 => 1/2 or 1/2

앞을 0으로, 뒤를 1로 정의.

X 0 1
P(X=x) 1/2 1/2 1

시행에서 일어날 수 있는 표본공간에 하나의 실수값을 대응시킨다. = 확률변수

왜 확률변수를 만듬? 통계 연구가 가능함.

 

확률분포

확률 변수에 대해서 그것이 일어날 확률을 정의한 것.

  • 이산확률변수: 표/그래프
    (확률질량함수)
  • 연속확률변수: 그래프
    (확률밀도함수)

2. 이산확률변수

1) 정의: X,Y확률 P(X=x) P(Y=y)와 같이 씀.
2) 확률분포: x(i) -> p(i)같은 대응관계로 표, 그래프로 표현한 것.
3) 확률질량함수: 확률변수를 식으로 표현한 것. (ex: f(x) = 1/2 (x=0,1))
4) 확률질량함수의 성질: 
    (1) 0 <= P(X=x) <= 1
    (2) \sum_{x=1}^{n} = 1
    (3) P(a<=X<=b) = \sum_{x=a}^{b} = P(X=x)

통계의 시작은 확률변수 X를 잘 정하는 것!

문제: 한 개의 동전을 2번 던지는 시행에서 시행의 결과로 나오는 앞면의 수를 X라 할 때, X의 확률분포를 구하시오.

X 0 1 2
P(X=x) 1/4 1/2 1/4 1

 

X -2 -1 0 1 2
P(X=x) k+2/9 k+1/9 l l+1/9 k+2/9

이 경우, 전부 더하면 1이기때문에 5k+6/9, k=1/15

3. 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차

  • 대표값 (ex: 평균, 최빈값, 중앙값)
  • 산포도: 흩어진 정도. ex) 분산, 표준편차

확률변수 X의 확률분포가 아래와 같을 때

X x1 x2 x3 xn  
P(X=x) p1 p2 p3 pn  

평균(기댓값): (x1p1 + x2p2+…+xnpn) / 1 => \sum_{i=1}^{n}{x_i p_i} E(X) = m

분산: (편차)^2의 평균 (E{(X-m)^2} = (제곱의 평균) – 평균의 재곱 (E(X^2) – {E(X)}^2) V(X)

표준편차: \sqrt{V(X) = \sigma}

확률변수 aX+b(a!=0, a,b는 상수)에 대하여

(1) E(aX+b) = aE(X) + b

(2) V(aX+b) = a^2V(X)

(3) \sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)

문제: E(X) = 3, V(X) = 1/4일때 E(2X+3), V(2X+3), \sigma(2X+3)의 값을 구하시오

E(2X+3) = 2E(X)+3 = 9
V(2X+3) = 4V(X) = 1
\sigma(2X+3) = 2\sigma(X) => 2 * 1/2 = 1

 

안녕하세요, 개발자 메튜장 입니다. 약 6년간 개발해 왔으며, 현재는 유라임 이라는 자기관리 웹 서비스를 창업하여 개발/운영하고 있습니다. 모던웹 개발, UX와 마이크로서비스, 대용량 아키텍처에 특히 관심이 많습니다. 개발 토크는 언제나 환영합니다. 댓글 혹은 이메일 ([email protected]) 으로 연락주세요 :-)

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