2019년 10월 19일

최은진의 노베부터 시작하는 확통 20 – 04강 여러 가지 순열(2)

  1. 중복순열
    (표현)
    중복허용 안함: ^nP_r
    중복허용함: ^n\pi_r = n^k

문제: 1,2,3,4의 번호가 적힌 4장의 카드 중에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수를 구하시오.

중복을 허락하므로 4^2 = 16 (^4\pi_2, 곱의법칙으로 생각하면 더 편리함.)

문제: 다음 값을 구하시오.
(1) ^2\pi_5 2^5 = 32
(2) ^3\pi_3 3^3 = 27
(3) ^5\pi_0 = 5^0 = 1

문제: 서로 다른 3개의 편지를 서로 다른 2개의 우체통에 넣는 경우의 수를 구하시오 (단 빈 우채통이 있을 수 있다.)

^n\pi_r 에서 n은 중복되는 개수임. 위 문제에서 중복이 가능한것은 우체통이므로, 우체통의 갯수가 n이 되어야 함.
즉, 위의 답은 ^2\pi_3 = 2^3 = 8

Tip: 중복순열 상황
(1) 우체통 유형: r개의 편지, n개의 우체통에 제약없이 담는 방법: ^n\pi_r = n^r
(2) 모스부호 유형: 서로다른 n개의 부호로 r자리수를 만드는 경우: ^n\pi_r = n^r

문제: 서로 다른 종류의 연필 5자루를 4명의 학생 A,B,C,D에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

중복이 되는 것: 5자루의 연필
안되는 것: 학생 A,B,C,D

정수의 개수
– 특정한 조건이 있는 경우: 조건을 만족시키도록 숫자 구성을 정한 뒤 공식을 이용
– 0이 끼어 있는 경우 -> 수작업

배수판정법
1. 2의 배수: 맨 끝 한자리의 숫자가 0 또는 2의 배수
2. 3의 배수: 각 자리 숫자의 합이 3의 배수
3. 4의 배수: 맨 끝 두 자리 수가 00 또는 4의 배수
4. 5의 배수: 맨 끝 한 자리의 숫자가 0 또는 5의 배수
5. 6의 배수: 2의 배수이면서 3의 배수
6. 8의 배수: 맨 끝 세 자리의 수가 000 또는 8의 배수
7. 9의 배수: 각 자리 숫자의 합이 9의 배수

문제: 1,2,3,4,5중에서 중복을 허락하여 만든 네 자리의 자연수가 5의 배수인 경우의 수를 구하시오

뒤에 5를 고정시켜두고 나머지를 배열하는 경우를 만듬. 즉, 5 pi 3 = 125

문제: 0,1,2,3,4중에서 중복을 허락하여 만든 네 자리의 자연수가 5의 배수인 경우를 구하시오.

끝자리 0이고 첫자리가 0이 아닌것만 보면됨. 즉 4x5x5 = 100

문제: 4,5,6을 중복 사용하여 5000이하의 네 자리 자연수를 만들 때, 3의 배수의 개수를 구하시오.

5천 이하이므로 첫자리는 4로 고정. 다른 옵션은 3의 배수이므로, 각 자리 숫자의 합이 3의 배수.
4+4+4+6 = 18 => 이게 3가지 경우 (3! / 2! = 3)
4+4+5+5 = 18 => 이게 3가지 경우 (3! / 2! = 3)
4+5+6+6 = 21 => 이것도 3가지 경우 (3! / 2! = 3)
즉, 9가지