2019년 11월 9일

최은진의 노베부터 시작하는 확통 20 – 10강 확률

주사위 1개 던질 때 짝수의 눈이 나오는 확률은?
3/6 = 1/2
시행: 주사위 1개를 던진다
표본공간: {1,2,3,4,5,6}
사건: 짝수의 눈이 나온다.

1. 확률의 기초개념
1) 시행과 사건
(3) 사건: 시행의 결과로 나타난 표본공간의 일부(부분집합)
ex) 주사위 한 개를 던지는 시행에서 짝수의 눈이 나오는 사건:
(4) 근원사건: 표본공간의 부분집합 중에서 한 개의 원소로 이루어진 것
ex) 주사위 한 개를 던지는 시행의 근원사건: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

2) 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건
표본공간 S의 두 사건 A와 B에 대하여,
(1) 합사건: A또는 B가 일어나는 사건
곱사건: A와 B가 동시에 일어나는 사건
(2) 배반사건: A\cap\text{B} = \emptyset인 두 사건 A와 B
(3) 여사건 B^{C}: 사건 A가 일어나지 않을 사건

문제: 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 소수의 눈이 나오는 사건을 B, 짝수의 눈이 나오는 사건을 C라고 할 때, 다음을 구하여라.
A = {1,3,5} B = {2,3,5} C = {2,4,6}
(1) A\cup B -> {1,2,3,5} 합사건
(2) B\cap C -> {2} 곱사건
(3) B^{C} -> 여사건 (B가 아닌것) {1,4,6}
(4) A,B,C중 서로 배반인 두 사건 -> A와 C. (공집합이 \emptyset)

2. 확률의 정의
1) 확률: 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 사건 A의 확률이라 하고, P(A)와 같이 나타냄.
2) 확률의 종류: 수학적 확률, 통계적 확률, 기하학적 확률
(1) 수학적 확률: 어떤 시행에서 표본공간 S의 원소의 개수를 n(S)라 하고, 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 떄, 사건 A가 일어날 확률 P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}

(2) 통계적 확률 (=경험적 확률): 일정한 조건에서 같은 시행을 n번 반복했을 때, 사건 A가 r_n번 일어날 경우 n을 충분히 크게 하면 상대도수 \frac{r_n}{n}은 일정한 값 p에 가까워진다. 즉, P(A) = \lim_{n\to\infinity} \frac{r_n}{n} = p에서 p를 사건 A의 통계적 확률이라고 함. 실제로는 n의 값을 한없이 크게할 수 없으므로 n이 충분히 클 때의 \frac{r_n}{n}으로 확률을 정함.

(3) 기하학적 확률: 전체 경우를 면적 혹은 길이 등으로 해석하여 이에 대한 부분을 확률적으로 표현.

수학적 확률 vs 통계적 확률
– 수학적 확률은 어떤 시행에서 각 결과가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다는 가정에서 정의
– 눈이 올 가능성, 농구선수가 자유투를 성공할 가능성 등과 같이 자연현상이나 사회현상이 일어날 확률 중 같은 정도로 기대되지 않는 경우도 있다. 이때 과거의 자료를 조사하거나 같은 시행을 여러 번 반복하여 얻어지는 상대도수로 그 사건이 일어날 확률을 예상하는 것이 통계적 확률임
– 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, 시행 횟수를 충분히 크게 하면 사건 A가 일어나는 상대도수는 수학적 확률 p에 가까워짐

3) 확률의 기본성질
표본공간이 S인 어떤 시행에서
(1) 임의의 사건 A에 대하여 0<=P(A)<=1
(2) 반드시 일어나는 사건 S에 대하여
P(S) = 1 (S: 전사건, 반드시 일어남)
ex) 주사위를 한 번 던질 때, 주사위의 눈의 수가 6이하로 나올 확률: 6/6 = 1
(3) 절대로 일어나지 않는 사건 \emptyset에 대하여
P(\emptyset) = 0(\emptyset: 공사건, 절대로 일어나지 않음
ex) 주사위를 두 번 던질 떄, 주사위의 눈의 합이 13이상이 될 확률: 0/36 = 0

문제: 암환자 500명에게 임상시험 중인 약을 투여한 결과 300명의 환자가 효과를 보았다. 어떤 암환자가 이 약을 복용하고 효과를 보게 될 확률
300/500 = 0.6

문제: 주머니 속에 흰 구슬 4개와 검은 구슬 5개가 들어있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 나올 확률을 구하시오.
\frac{^4C_1 \ast ^5C_2}{^9C_3} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}

3. 확률의 덧셈정리
ex) 1부터 20까지 숫자가 각각 적혀 있는 카드에서 임의로 한 장을 뽑을 때, 다음을 구하시오.
(1) 2또는 3의 배수가 나오는 확률:
(정의를 이용)
2의배수: 10가지, 3의배수: 6가지, 6의배수: 3
10+6-3 = 13, 즉 13/20 => 개수로 계산
(확률공식 이용)
10/20 + 6/20 – 3/20 = 13/20
(각각의 배수에 대한 확률을 구하여 계산)
즉, P(A\cup\text{B}) = P(A) + P(B) = P(A\cap\text{B})
(2) 4또는 9의 배수가 나오는 확률
이는 배반사건! 이 경우 P(A) + P(B)

문제: A,B를 포함한 8명의 요리 동아리 회원 중에서 요리 박람회에 참가할 5명의 회원을 임의로 뽑을 때, A또는 B가 뽑힐 확률을 구하시오.
= A가 이미 뽑히고 다른 이를 뽑는 확률 + B가 이미 뽑히고 다른 이를 뽑힐 확률 – A,B가 동시에 뽑히고 다른 이들을 뽑는 확률
= \frac{^7C_4}{^8C_5} + \frac{^7C_4}{^8C_5} - \frac{^6C_3}{^8C_5} = \frac{25}{28}

혹은, 전체에서 이미 A,B가 뽑힌 경우를 (여사건) 제외해도 됨.

4. 여사건의 확률
P(A^{C}) = 1 - P(A)

문제: A,B는 배반사건이고, P(A\cap\text{B^{C}} = \frac{1}{5}, P(A^{C}\cap\text{B} = \frac{1}{4} 일때, P(A\cup\text{B})의 값을 구하여라.
그냥 합치면됨. 1/4 + 1/5

문제: 2개의 당첨제비가 포함되어 있는 10개의 제비중에서 임의로 3개의 제비를 동시에 뽑을 때, 적어도 한 개가 당첨제비일 확률을 구하시오.
=> 1에서 모두 당첨이 안되는 경우 (여사건)를 구하는게 더 나음.
= 1 - \frac{^8C_3}{^10C_3} = \frac{8}{15}