1. 확률변수
동전 1개 {앞, 뒤}
표본공간: 앞/뒤 => 1/2 or 1/2
앞을 0으로, 뒤를 1로 정의.
X | 0 | 1 | 계 |
P(X=x) | 1/2 | 1/2 | 1 |
시행에서 일어날 수 있는 표본공간에 하나의 실수값을 대응시킨다. = 확률변수
왜 확률변수를 만듬? 통계 연구가 가능함.
확률분포
확률 변수에 대해서 그것이 일어날 확률을 정의한 것.
- 이산확률변수: 표/그래프
(확률질량함수) - 연속확률변수: 그래프
(확률밀도함수)
2. 이산확률변수
1) 정의: X,Y확률 P(X=x) P(Y=y)와 같이 씀.
2) 확률분포: x(i) -> p(i)같은 대응관계로 표, 그래프로 표현한 것.
3) 확률질량함수: 확률변수를 식으로 표현한 것. (ex: f(x) = 1/2 (x=0,1))
4) 확률질량함수의 성질:
(1) 0 <= P(X=x) <= 1
(2)
(3) P(a<=X<=b) =
통계의 시작은 확률변수 X를 잘 정하는 것!
문제: 한 개의 동전을 2번 던지는 시행에서 시행의 결과로 나오는 앞면의 수를 X라 할 때, X의 확률분포를 구하시오.
X | 0 | 1 | 2 | 계 |
P(X=x) | 1/4 | 1/2 | 1/4 | 1 |
X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
P(X=x) | k+2/9 | k+1/9 | l | l+1/9 | k+2/9 |
이 경우, 전부 더하면 1이기때문에 5k+6/9, k=1/15
3. 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차
- 대표값 (ex: 평균, 최빈값, 중앙값)
- 산포도: 흩어진 정도. ex) 분산, 표준편차
확률변수 X의 확률분포가 아래와 같을 때
X | x1 | x2 | x3 | … | xn | 계 | |
P(X=x) | p1 | p2 | p3 | … | pn | 계 |
평균(기댓값): (x1p1 + x2p2+…+xnpn) / 1 => E(X) = m
분산: (편차)^2의 평균 (E{(X-m)^2} = (제곱의 평균) – 평균의 재곱 (E(X^2) – {E(X)}^2) V(X)
표준편차:
확률변수 aX+b(a!=0, a,b는 상수)에 대하여
(1) E(aX+b) = aE(X) + b
(2) V(aX+b) = a^2V(X)
(3) (aX+b) = |a|(X)
문제: E(X) = 3, V(X) = 1/4일때 E(2X+3), V(2X+3), (2X+3)의 값을 구하시오
E(2X+3) = 2E(X)+3 = 9
V(2X+3) = 4V(X) = 1
(2X+3) = 2(X) => 2 * 1/2 = 1