2019년 10월 19일

최은진의 노베부터 시작하는 확통 20 – 05강 조합

조합

n개중 r을 뽑아서 나열을 안하는 경우. \frac{^nP_r}{r!} = ^nC_r = \frac{n(n-1)....(n-r+1)}{r!}
공식
1) ^nC_r = \frac{n(n-1)....(n-r+1)}{r!} = \frac{^nP_r}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}
2) ^nC_0 = 1, ^nC_r = ^nC_{n-r}
3) ^nC_r = ^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1} 이항정리 참조

tip: 자동배열 = 조합 (ex: 키큰 순서 나열 / 세 자리 자연수)

문제: 1,2,3,4의 번호가 적힌 4장의 카드 중에서 서로 다른 2장의 카드를 택하는 경우의 수를 구하시오.
^4C_2 = \frac{4\ast3}{2!} = 6

문제: 다음 식을 만족하는 자연수 n또는 r의 값을 구하시오.
(1) ^9C_r = \frac{9!}{4!5!} => 4 혹은 5
(2) 2\ast^nC_3 = 3\ast^nP_2

문제: 10명의 학생이 속한 동아리에서 두 명의 대표를 선출하는 방법의 수를 구하시오.
대표간의 구분이 없으므로, 10명중 2명만 뽑음. ^10C_2 = 45

문제: 어느 학교 동아리 회원은 1학년이 6명, 2학년이 4명이다. 이 동아리에서 7명을 뽑을 때, 1학년에서 4명, 2학년에서 3명을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오.

^6C_4 \ast ^4C_3 = 60 \ast 7!
각각으 ㄹ뽑은 뒤 합쳐서 나열하는 유형 -> 뽑는것과 나열하는 것을 따로 계산할 것.

조합의 기본 성질
– 키 큰 순서대로 나열 = 조합
– 서로다른, 중복을 허용하지 않고, 뽑기만 -> 조합
– 일단 뽑아서 <나열 후 취소> 한다고 생각
– 같은 것이 있는 순열과 본질이 같음

“도형의 개수”
– 도형을 만들 때 점이나 직선을 몇 개 선택해야 하는지 먼저 파악!
– 겹쳐서 센 경우 또는 도형이 만들어지지 않는 경우가 있다면 빼 줄 것!

  1. 도형의 개수
    서로 다른 n개의 점 중에서 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않을 때, 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수 = ^nC_2 / 삼각형의 개수: ^nC_3
  2. 평행사변형의 개수
    m개의 평행선과 n개의 평행선이 만날 때, 이 평행선으로 만들 수 있는 평행사변형의 개수
    ^{m}C_2 \ast ^{n}C_2