2019년 11월 1일

최은진의 노베부터 시작하는 확통 20 – 07강 이항정리

이항정리

(a+b)^n 으로 나올 수 있는 것을 모두 정리한 것.
ex) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2 + b^3

(a+b)^n = ^nC_0a^n + ^nC_1a^{n-1}b^1 + .... + ^nC+_n b^n
여기서 컴비네이션은 이항계수. 일반항: ^nC_r a^{n-r}b^r = ^nC_r \sum_{r=0}^{n} a^{n-r}b^r

문제: (x+y)^5에서 x^3y^2의 계수를 구하시오
^5C_r x^{5-r}y^r 일반항, 즉 5-r = 3, r=2가 됨. 즉, ^5C_2 x^3y^2 = 10

문제: (2x-y)^4을 이항정리를 이용하여 전개하시오.
^4C_0 (2x)^4 + ^4C_1 (2x)^3(-y)^1 + ^4C_2 (2x)^2(-y)^2 + ^4C_2 (2x)^1(-y)^3 + ^4C_4 (2x)^4(-y)^0 = 16x^4+....

문제: (x+\frac{1}{3x})^6을 이항정리를 이용하여 전개하시오.
우선 일반항 구하기: ^6C_r x^{6-r} \left(\frac{1}{3x}\right)^r 여기서 6 - 2r = 2 (계수가 2를 구하는 것이므로)
즉, ^6C_2 \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{6\ast5}{2}\ast\frac{1}{9} = \frac{5}{3}

문제: (1+ax)^5의 전개식에서 x^2의 계수가 1440일때, 양수 a의 값을 구하시오.
1) 일반항 구하기: ^5C_r(ax)^r =>뒤에것을 따라가기!
2) r = 2가됨.
3) 계수는? ^5C_2 a^2 = 1440 a^2 = 144 , a=12

이항계수의 성질
(1+x)^n = ^nC_0+^nC_1x+^nC_2x^2+....+^nC_nx^n
1) 2^n = ^nC_0+^nC_1+^nC_2+....+^nC_n
2) 0 = ^nC_0-^nC_1x+^nC_2x^2-....+^nC_n(-1)^n
3) (1) + (2) = 2^{n-1} = ^nC_0+^nC_2+^nC_4+....+^nC_{2k}
4) (1) – (2) = 2^{n-1} = ^nC_1+^nC_3+^nC_5+....+^nC_{2k+1}